Que signifie être mathématicien quand l'IA fait les maths

Au milieu des années 2000, alors que la musique des Killers et de Franz Ferdinand résonnait dans tous les pubs, je peinais sur un doctorat en mathématiques appliquées. Mes recherches portaient sur la simulation des interactions d'ondes lumineuses spéciales dans les cristaux liquides à l'aide d'équations simples. Avec le recul, je réalise qu'aujourd'hui ce travail pourrait être accompli avec l'aide de l'IA en quelques jours, voire quelques heures. Mais on ne peut pas en dire autant du travail de mes collègues doctorants en mathématiques pures, avec qui je partageais un bureau exigu à l'Université d'Édimbourg. À l'époque, je les plaignais, les voyant jour après jour assis à leur bureau, se prenant la tête et ne progressant pas. Maintenant, avec le recul, je comprends enfin pourquoi ils peinaient pendant des années sur des problèmes mathématiques abstraits qui n'intéressent qu'une poignée de personnes dans le monde.

Ce n'était pas de l'arrogance, ni une tentative de prouver leur intelligence supérieure en résolvant un problème apparemment insoluble. Ce n'était même pas du masochisme ou une pénitence pour une prétendue insuffisance. J'ai réalisé qu'ils tiraient de la joie, de la satisfaction et du sens du long chemin vers la compréhension. « Parfois, la compréhension vous frappe simplement comme étant très belle », médite le mathématicien Jeremy Avigad de l'Université Carnegie Mellon. « Parfois c'est un sentiment d'accomplissement, comme terminer un marathon. Mais ce n'est tout à fait ni l'un ni l'autre : c'est juste un sentiment merveilleux quand vous avez longuement réfléchi à quelque chose de complexe, de difficile, et soudain tout s'assemble. » Ce sentiment a animé les mathématiciens à travers l'histoire, et la manière dont ils le poursuivent a peu changé au fil des siècles.

Les mathématiciens remarquent ou imaginent des liens, des motifs ou des propriétés dans les nombres, les formes ou les structures logiques. À partir de là, ils écrivent des conjectures — des énoncés non prouvés de leurs spéculations. Eux-mêmes ou d'autres mathématiciens utilisent ensuite le raisonnement logique et les outils des mathématiques, souvent de manière créative, pour prouver ou réfuter ces conjectures. Enfin, d'autres mathématiciens vérifient (ou contestent) les preuves. Ce processus nécessite invariablement beaucoup de temps de réflexion. « Je suis allé à un camp de maths pures où nous restions assis avec des problèmes difficiles pendant une demi-heure sans que personne ne dise rien — tout le monde réfléchissait », raconte Krystal Maughan, mathématicienne et informaticienne sur le point d'obtenir son doctorat à l'Université du Vermont. « Mais ensuite nous travaillions ensemble et démêlions le problème. »

C'est la joie séculaire des mathématiques en action. Mais les systèmes d'IA d'aujourd'hui commencent à s'immiscer dans ce processus lent et délibératif. En poussant cette tendance à sa conclusion logique, que se passe-t-il si l'IA rend la lutte du mathématicien complètement inutile ? L'IA pourrait-elle même marginaliser complètement l'humanité ? Pendant des décennies, le calcul a accéléré le progrès mathématique. Cela a commencé il y a 50 ans, lorsque des mathématiciens ont utilisé un ordinateur pour prouver le théorème des quatre couleurs, qui demande si n'importe quelle carte peut être colorée avec au plus quatre couleurs, sans que deux régions adjacentes partagent la même couleur. La réponse est oui, et l'ordinateur l'a prouvé, controversé, en vérifiant 1 936 cas d'une manière qu'aucun humain ne pourrait vérifier de manière réaliste.

Pourtant, à travers cette ère computationnelle, même dans les preuves reposant sur d'énormes ressources de calcul, le rôle du mathématicien humain est resté central. Les humains proposent des conjectures, guidés par l'intuition. Ils conçoivent des stratégies pour les prouver, guidés par la créativité et l'expérience. Et les humains vérifient si ces preuves sont correctes. Maintenant, l'IA remet en question le statu quo. En quelques années seulement, les grands modèles de langage (LLM) sont passés de « perroquets stochastiques », capables à peine de régurgiter des mathématiques de base glanées sur Internet, à des machines de raisonnement mathématique avancées. L'été dernier, les systèmes de Google DeepMind et OpenAI ont atteint un niveau équivalent aux lycéens les plus doués en mathématiques au monde, obtenant des médailles d'or à l'Olympiade internationale de mathématiques.

Plus tôt cette année, le système d'IA expérimental de Google DeepMind, Aletheia, a franchi une étape encore plus significative en produisant de manière autonome des résultats de recherche publiables au niveau doctoral. Bien que le travail lui-même soit mathématiquement obscur — calcul de constantes de structure en géométrie arithmétique — la signification réside dans le raisonnement complexe qu'il a démontré en s'attaquant à un problème mathématique non résolu. Et plus récemment, un nouveau système d'IA généraliste d'OpenAI a réfuté une conjecture importante en géométrie combinatoire. Ce résultat aurait été digne de publication dans une grande revue de mathématiques si des humains en avaient été les auteurs, et les meilleurs mathématiciens ont salué cet exploit comme une étape importante pour l'IA en mathématiques, démontrant une pensée indépendante, originale et sophistiquée. Un autre changement est venu de la combinaison des LLM avec des outils mathématiques appelés assistants de preuve, qui existent depuis plus d'une décennie.