AIが数学を解く時代、数学者であることの意味

2000年代半ば、キラーズやフランツ・フェルディナンドの音楽が街中にあふれていた頃、私は応用数学の博士号取得に苦闘していました。私の研究は、液晶中の特殊な光波の相互作用を単純な方程式で近似し理解するシミュレーションに焦点を当てていました。今振り返ると、液晶技術は時代遅れであり、私の研究はAIの助けを借りれば数日、いや数時間で完了できたでしょう。しかし、エディンバラ大学の窮屈なオフィスを共有していた純粋数学の博士課程の同僚たちについては同じことが言えません。当時、私は彼らを気の毒に思いました。彼らは毎日机に向かい、髪をかきむしりながら進展もなく過ごしていたからです。今、振り返ってみると、なぜ彼らが世界でほんの一握りの人しか気にしない抽象的な数学の問題に何年も取り組んでいたのか、ようやく理解できました。それは傲慢さでも、解決不可能な問題を最初に解くことで優れた知性を証明しようとするものでもありませんでした。それはマゾヒズム（私の二番目の推測）でもなく、想像上の欠点に対する償いでもありませんでした。彼らは理解への長い旅から喜び、満足感、そして意味を得ていたのです。

「理解がとても美しいと感じることがあります」とカーネギーメロン大学の数学者ジェレミー・アヴィガドは述べています。「達成感、まるでマラソンを完走したような気分になることもあります。しかし、それらのどちらでもありません。複雑で難しいことについて長く深く考え、そして突然すべてがまとまったときの素晴らしい感覚です。」この感覚は歴史を通じて数学者を駆り立ててきました。同様に、数学者がその感覚を追求する方法は何世紀にもわたってほとんど変わっていません。彼らは数字、図形、論理構造の中のつながり、パターン、性質に気づいたり想像したりします。そこから、彼らは推測（未証明の仮説）を書きます。そして彼ら自身か他の数学者が、論理的推論と数学のツールをしばしば創造的に用いて、その推測を証明または反証します。最後に、さらに他の数学者が証明を検証（または異議を唱え）ます。

このプロセスには必然的に大量の思考時間が必要です。「私は純粋数学のキャンプに行き、難しい数学の問題を30分間座って考え、誰も何も言わず、皆がただ考えていました」と、バーモント大学で博士号を取得しようとしている数学者兼コンピューター科学者のクリスタル・モーガンは語ります。「しかしその後、私たちは協力して問題を解きほぐしていきました。」これこそが数学の古くからの喜びです。しかし今日のAIシステムは、このゆっくりとした熟考のプロセスを迂回し始めています。この傾向を論理的に突き詰めると、AIが数学者の苦闘を完全に不要にしたらどうなるでしょうか？ AIが人類を完全に脇に追いやる可能性はあるでしょうか？

数十年にわたり、計算は数学の進歩を加速させてきました。それは50年前、数学者がコンピューターを使って四色定理を証明したことに始まります。この定理は、隣接する領域が同じ色にならないように、任意の地図を4色以内で塗り分けられるかどうかを問うものです。答えは「はい」であり、コンピューターは1936のケースを人間には現実的に検証できない方法でチェックして証明しました。しかし、この計算の時代を通じて、たとえ膨大な計算リソースに依存した証明であっても、人間の数学者の役割は中心的なままでした。人間は直感に導かれて推測を提案します。創造性と経験に導かれて証明の戦略を考案します。そして人間はそれらの証明が正しいかどうかを検証します。今やAIが現状に挑戦しています。わずか数年で、大規模言語モデル（LLM）はインターネットからかき集めた基本的な数学を吐き出すだけの「確率的オウム」から、高度な数学的推論マシンへと進化しました。

昨年の夏、Google DeepMindとOpenAIのシステムは、世界で最も数学的に才能のある高校生と同等のレベルに達し、国際数学オリンピックで金メダルを獲得しました。この年次大会では、参加者は数学のさまざまな分野から6つの非常に難しい問題を解かなければなりません。今年の初め、Google DeepMindの実験的AIシステムAletheiaは、博士レベルの出版可能な研究成果を自律的に生み出したという、さらに重要なマイルストーンを達成しました。研究自体は数学的に難解ですが（算術幾何学における構造定数の計算）、その意義は未解決の数学問題に取り組む際に示した複雑な推論にあります。そして最近、OpenAIの新しい汎用AIシステムが組合せ幾何学における重要な予想を反証しました。この結果は、もし人間が著者であれば主要な数学ジャーナルに掲載される価値があり、トップ数学者たちはこの偉業をAIの数学におけるマイルストーンとして称賛し、独立した独創的で洗練された思考を示したと述べています。もう一つの変化は、LLMと証明アシスタントとして知られる数学ツールの組み合わせから生まれました。これらのシステムは10年以上前から存在しています。